Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 2 y + 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 y + 2}$ .

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 2} (2 y + 2)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 2} (2 y + 2)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{2 y + 2} d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 y + 2} d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 2 y + 2$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 2 y + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y + 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) = x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |)) = 2 (x + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 2 y + 2 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 2 |)}{2} = 2 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 2 |)}{2} = 2 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 2 y + 2 |) = 2 (x + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 2 y + 2 |) = 2 x + 2 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 2 y + 2 |)} = e^{2 x + 2 C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| 2 y + 2 |) = 2 x + 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | 2 y + 2 |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 2 y + 2 | = e^{2 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 2 | = e^{2 x + 2 C}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$2 y + 2 = \pm e^{2 x + 2 C}$

Langkah 3.5.3

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$

Langkah 3.5.4

Bagi setiap suku pada $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 3.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - 1$

Langkah 3.5.4.3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.5.4.3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.5.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.5.4.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 2}{2}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm e^{2 x + C} - 2}{2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{2 x + C}$ sebagai $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x} e^{C} - 2}{2}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{2 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{2 x} - 2}{2}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C e^{2 x} - 2}{2}$