Kalkulus Contoh

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $15 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $15 x^{2} y^{2}$ terhadap $y$ adalah $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{4}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

Langkah 1.4.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $10 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x^{3} y$ terhadap $x$ adalah $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 4 y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Langkah 2.5

Karena $- 5 y^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 y^{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $30 y x^{2} - 4 y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Langkah 5.2

Karena $15 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $15 y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $5 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5 y^{2} x^{3}$ terhadap $y$ adalah $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{4} x$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.4.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $10 x^{3} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $4 y^{3} x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $10 x^{3} y$ dengan $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Langkah 9.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- 4 x y^{3}$ dan $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $- 4 y^{3} x$ dan $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

Langkah 9.1.3.5

Tambahkan $- 5 y^{4}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

Langkah 10

Temukan $- 5 y^{4}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

Langkah 10.3

Karena $- 5$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 5$ keluar dari integral.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{4}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ sebagai $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{5}$ .

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

Langkah 10.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 5$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$g (y) = - y^{5} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$