Kalkulus Contoh

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

Langkah 1.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

Langkah 1.3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- y}$ sebagai $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x e^{- y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Langkah 2.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- e^{- y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x e^{- y}$ terhadap $x$ adalah $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

Langkah 2.4

Kurangi $e^{- y}$ dengan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- e^{- y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- e^{- y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- e^{- y} = - e^{- y}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- e^{- y} = - e^{- y}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = e^{- y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{- y} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{- y} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- y}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.3.7

Tulis kembali $- 1 e^{- y}$ sebagai $- e^{- y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

Langkah 8.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $x e^{- y}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $- x e^{- y}$ dan $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Langkah 10

Temukan $1$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Langkah 10.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = y + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ .

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$