Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

Langkah 1.1.1.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

Langkah 1.1.1.3

Faktorkan $y$ dari $y x^{2} + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

Langkah 1.1.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.2.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.2.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

Langkah 1.4.3

Kalikan $x^{2} - 1$ dengan $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Langkah 1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Langkah 1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

Langkah 1.4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1

Faktorkan $y$ dari $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Langkah 1.4.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Langkah 1.4.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $3$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.2

Sederhanakan $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.2.2

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.3

Sederhanakan $1 + \ln (| 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

Langkah 4.3.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$6 + C = 1$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 1 - 6$

Langkah 4.4.2

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$C = - 5$

Langkah 5

Substitusikan $- 5$ untuk $C$ dalam $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 5$ untuk $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$