Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

Langkah 1

Tambahkan $2 t y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 t d t}$

Langkah 2.2

Integralkan $2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int t d t}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Langkah 2.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1 t^{2} + C}$

Langkah 2.2.3.2.3

Kalikan $t^{2}$ dengan $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{t^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{t^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

Langkah 3.4

Kalikan $e^{t^{2}}$ dengan $e^{- t^{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

Langkah 3.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

Langkah 3.4.3

Tambahkan $- t^{2}$ dan $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

Langkah 3.5

Sederhanakan $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

Langkah 3.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ dengan $e^{t^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ dengan $e^{t^{2}}$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{t^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ .

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ .

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Langkah 10.2

Sederhanakan $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Langkah 10.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.2.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Langkah 10.2.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

Langkah 10.2.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

Langkah 10.2.3

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = 3$

Langkah 11

Substitusikan $3$ untuk $C$ dalam $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $3$ untuk $C$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$