Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (4) = 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Langkah 1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = - x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - x d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

Langkah 5

Karena $y$ positif pada sarat awal $(4, 3)$ , hanya pertimbangkan $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $4$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ .

$3 = \sqrt{- 4^{2} + K}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$ .

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$

Langkah 6.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{- 4^{2} + K}}^{2} = 3^{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- 4^{2} + K}$ sebagai ${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- 4^{2} + K)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

${(- 1 \cdot 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

${(- 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.3.2.1.3

Sederhanakan.

$- 16 + K = 3^{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- 16 + K = 9$

Langkah 6.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tambahkan $16$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 9 + 16$

Langkah 6.4.2

Tambahkan $9$ dan $16$ .

$K = 25$

Langkah 7

Substitusikan $25$ untuk $K$ dalam $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $25$ untuk $K$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

Langkah 7.2

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

Langkah 7.3

Susun kembali $- x^{2}$ dan $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Langkah 7.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 5$ dan $b = x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$