Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $5 x^{4} e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{3} e^{x}}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $5 x^{3} e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 4 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 4}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = 5 x^{3} e^{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 4}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 4}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 4 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 4}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{4}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{4}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{4 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = 5 \frac{1}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

Langkah 3.4

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{3} e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} (e^{x}))$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x} e^{x}$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{5}{x}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5 e^{x}}{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = \frac{5 e^{x}}{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 \int \frac{e^{x}}{x} d x$

Langkah 7.2

$\int \frac{e^{x}}{x} d x$ adalah integral khusus. Integralnya adalah fungsi integral eksponensial.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 (E i (x) + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 E i (x) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{4}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} = 5 E i x + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (5 E i x + C) x^{4}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(5 E i x + C) x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 5 E i x \cdot x^{4} + C x^{4}$

Langkah 8.3.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Pindahkan $x^{4}$ .

$y = 5 E i (x^{4} x) + C x^{4}$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = 5 E i (x^{4} x^{1}) + C x^{4}$

Langkah 8.3.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = 5 E i x^{4 + 1} + C x^{4}$

Langkah 8.3.2.1.2.3

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$y = 5 E i x^{5} + C x^{4}$

Langkah 8.3.2.1.3

Pindahkan $i$ .

$y = 5 E x^{5} i + C x^{4}$

Langkah 8.3.2.1.4

Pindahkan $E$ .

$y = 5 x^{5} E i + C x^{4}$