Kalkulus Contoh

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ dengan $x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ dengan $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.4.2

Kalikan $\frac{3}{x}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

Langkah 1.4.3.2

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Langkah 1.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Langkah 1.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 3.3

Sederhanakan $- 6 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $6$ ke dalam logaritma.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

Langkah 3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

Langkah 3.5

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{6}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Langkah 3.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Langkah 3.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Langkah 3.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

Langkah 5

Karena $y$ positif pada sarat awal $(2, 1)$ , hanya pertimbangkan $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ untuk menentukan $C$ . Substitusikan $2$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ .

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ .

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

Langkah 6.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ sebagai ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $6$ .

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 6.3.2.1.3

Sederhanakan.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \ln (64) + C = 1$

Langkah 6.4

Tambahkan $\ln (64)$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 1 + \ln (64)$

Langkah 7

Substitusikan $1 + \ln (64)$ untuk $C$ dalam $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $1 + \ln (64)$ untuk $C$ .

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$