Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y - 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $- u^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y - 1, 1, 1$

Langkah 3.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$y - 1, 1, 1$

Langkah 3.1.3

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y - 1$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ dengan $y - 1$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ dengan $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y - 1}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- 1 = \ln (| x |) y + \ln (| x |) \cdot - 1 + C (y - 1)$

Langkah 3.2.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - 1 \cdot \ln (| x |) + C (y - 1)$

Langkah 3.2.3.1.3

Tulis kembali $- 1 \ln (| x |)$ sebagai $- \ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C (y - 1)$

Langkah 3.2.3.1.4

Terapkan sifat distributif.

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y + C \cdot - 1$

Langkah 3.2.3.1.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - 1 \cdot C$

Langkah 3.2.3.1.6

Tulis kembali $- 1 C$ sebagai $- C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$

Langkah 3.2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$ .

$- 1 = y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$ .

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) = - C y + C - 1$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $C y$ ke kedua sisi persamaan.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y = C - 1$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $\ln (| x |)$ ke kedua sisi persamaan.

$y \ln (| x |) + C y = C - 1 + \ln (| x |)$

Langkah 3.3.5

Faktorkan $y$ dari $y \ln (| x |) + C y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $C y$ .

$y \ln (| x |) + y C = C - 1 + \ln (| x |)$

Langkah 3.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $y \ln (| x |) + y C$ .

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$

Langkah 3.3.6

Bagi setiap suku pada $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ dengan $\ln (| x |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Bagilah setiap suku di $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ dengan $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Langkah 3.3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (| x |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Langkah 3.3.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Langkah 3.3.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} - \frac{1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Langkah 3.3.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{C - 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Langkah 3.3.6.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{C - 1 + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$