Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 5 x + 1$ . Kemudian $d u = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 5 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$5$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 2.3.4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tulis kembali $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $3$ untuk $x$ dan $- 2$ untuk $y$ padda $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $15$ dan $1$ .

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Langkah 4.2.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

Langkah 4.2.6

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

Langkah 4.2.7

Kalikan $\frac{2}{15} \cdot 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Gabungkan $\frac{2}{15}$ dan $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

Langkah 4.2.7.2

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$\frac{128}{15} + K = - 2$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{128}{15}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $15$ .

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $128$ dengan $- 30$ .

$K = \frac{- 158}{15}$

Langkah 4.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{158}{15}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{158}{15}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{158}{15}$ untuk $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{2}{15}$ dan ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

Langkah 5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

Langkah 5.4

Faktorkan $2$ dari $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 158$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$