Kalkulus Contoh

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Langkah 2.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Langkah 2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y \ln (\frac{x}{y})$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \ln (y)$ dan $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.5.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.6

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.7

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.8

Gabungkan $\frac{y}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.9

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.10

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.13

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x}{y}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.14

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.14.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.14.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.14.3

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.16

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.1

Pindahkan $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.16.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.16.3

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.17

Sederhanakan $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.18

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Langkah 2.19

Kalikan $\ln (\frac{x}{y})$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Langkah 2.20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.20.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 2.20.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1 - \ln (\frac{x}{y})$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1 - \ln (\frac{x}{y})$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $- y (\ln (x) - \ln (y))$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $- y (\ln (x) - \ln (y))$ untuk $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 5.3.2.3.2

Kalikan $\ln (\frac{x}{y})$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 5.3.2.4

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 5.3.2.5

Tambahkan $0$ dan $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 5.3.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Langkah 5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (\frac{x}{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- y}$

Langkah 5.3.5

Substitusikan $- y (\ln (x) - \ln (y))$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Langkah 5.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Langkah 6.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan $- \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Langkah 6.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- y (\ln (x) - \ln (y))$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Langkah 7.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Langkah 7.4

Tulis kembali $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ sebagai $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $x$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Langkah 7.6

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = \frac{x}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 9.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 12

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Tulis kembali.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Kurangkan $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Langkah 13.1.2.2

Tulis kembali.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Langkah 13.1.3

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Langkah 13.1.3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Langkah 13.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y \ln (\frac{x}{y})$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Langkah 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \ln (y)$ dan $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.5.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.6

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.7

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.8

Gabungkan $\frac{y}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.9

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.10

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.13

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x}{y}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.14

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.14.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.14.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.14.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.14.3

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.16

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.16.1

Pindahkan $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.16.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.16.3

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.17

Sederhanakan $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 13.1.3.18

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Langkah 13.1.3.19

Kalikan $\ln (\frac{x}{y})$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Langkah 13.1.3.20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.20.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.3.20.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.4

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 13.1.5

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.5.1

Substitusikan $1 - \ln (\frac{x}{y})$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Langkah 13.1.5.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ bukan identitas.

Langkah 13.1.6

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.6.1

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 13.1.6.2

Substitusikan $1 - \ln (\frac{x}{y})$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Langkah 13.1.6.3

Substitusikan $- y (\ln (x) - \ln (y))$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.6.3.1

Substitusikan $- y (\ln (x) - \ln (y))$ untuk $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 13.1.6.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.6.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 13.1.6.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 13.1.6.3.2.3

Kalikan $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.6.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 13.1.6.3.2.3.2

Kalikan $\ln (\frac{x}{y})$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 13.1.6.3.2.4

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 13.1.6.3.2.5

Tambahkan $0$ dan $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Langkah 13.1.6.3.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Langkah 13.1.6.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (\frac{x}{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.6.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Langkah 13.1.6.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- y}$

Langkah 13.1.6.3.5

Substitusikan $- y (\ln (x) - \ln (y))$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.6.3.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Langkah 13.1.6.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y}$

Langkah 13.1.6.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 13.1.7

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 13.1.7.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 13.1.7.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Langkah 13.1.7.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.7.4.1

Sederhanakan $- \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Langkah 13.1.7.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Langkah 13.1.7.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Langkah 13.1.8

Kalikan kedua sisi $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.8.1

Kalikan $- y (\ln (x) - \ln (y))$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 13.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.8.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 13.1.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 13.1.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Langkah 13.1.8.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Langkah 13.1.8.4

Tulis kembali $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ sebagai $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Langkah 13.1.8.5

Kalikan $x$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Langkah 13.1.8.6

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Langkah 13.1.9

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Langkah 13.1.10

Integralkan $N (x, y) = \frac{x}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.10.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.1.10.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Langkah 13.1.10.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Langkah 13.1.11

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Langkah 13.1.12

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.13

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.13.1

Sederhanakan $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.13.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $d$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.13.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.13.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.13.1.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.13.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \ln (| y |) + g x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.13.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x \ln (| y |)$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.13.1.3.2

Faktorkan $x$ dari $g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.13.1.3.3

Faktorkan $x$ dari $x \ln (| y |) + x g$ .

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.13.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.13.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.13.1.4.2

Bagilah $\ln (| y |) + g$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

Langkah 13.1.14

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

Langkah 13.1.15

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

Langkah 13.1.16

Gabungkan $| y |$ dan $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

Langkah 13.1.17

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (\frac{| y | x}{y})$ .

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

Langkah 14

Temukan $- g$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

Langkah 14.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = - g x + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$