Kalkulus Contoh

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y \cos (x) + 2 x e^{y}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x e^{y}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ adalah $a^{y} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Langkah 1.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $\cos (x) + 2 e^{y} x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Langkah 2.6.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x e^{y} + \cos (x)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x e^{y} + \cos (x)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Langkah 5.3

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

Langkah 5.4

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

Langkah 5.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\sin (x) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{y}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.5

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tambahkan $y \cos (x) + 2 e^{y} x$ dan $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 8.7.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $2 x e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $y \cos (x)$ dengan $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $2 x e^{y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $2 x e^{y}$ dengan $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 10

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 10.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 10.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$