Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

Langkah 1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

Langkah 7.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

Langkah 7.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

Langkah 7.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

Langkah 7.6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

Langkah 7.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

Langkah 7.8.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

Langkah 7.9

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 7.9.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 7.9.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

Langkah 7.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

Langkah 7.11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

Langkah 7.12

Tulis kembali $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ sebagai $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

Langkah 7.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

Langkah 7.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.14.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Langkah 7.14.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.14.2.1

Kalikan $- (- x^{2} e^{- x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.14.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Langkah 7.14.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Langkah 7.14.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Langkah 7.14.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ .

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ .

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Langkah 10.2

Sederhanakan $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Langkah 10.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Langkah 10.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

Langkah 10.2.1.4

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$0 + 0 + 2 + C = 0$

Langkah 10.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $0 + 0 + 2 + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 2 + C = 0$

Langkah 10.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$2 + C = 0$

Langkah 10.3

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = - 2$

Langkah 11

Substitusikan $- 2$ untuk $C$ dalam $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $- 2$ untuk $C$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

Langkah 11.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$