Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{12 x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 12 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{8 + x^{3}}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 8 + x^{3}$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 8 + x^{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $12$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.5.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.5.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.5.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tulis kembali $4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = 8 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 8 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$