Kalkulus Contoh

$2 (y + 3) d x - x (y d) y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $2 (y + 3) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x y d y = - 2 (y + 3) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$\frac{1}{x (y + 3)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x (y + 3)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y + 3} y d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{- 1}{y + 3}$ dan $y$ .

$\frac{- y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Langkah 3.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - 2 \frac{1}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Langkah 3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Faktorkan $y + 3$ dari $x (y + 3)$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Langkah 3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Langkah 3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Langkah 3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Bagilah $y$ dengan $y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$3$

$y$

$0$

Langkah 4.2.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	+	$0$

Langkah 4.2.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$3$

Langkah 4.2.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$

Langkah 4.2.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$
					-	$3$

Langkah 4.2.2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$- \int 1 - \frac{3}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.6

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y + 3} d y)) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.8

Biarkan $u = y + 3$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.1

Biarkan $u = y + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.1.1

Diferensialkan $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Langkah 4.2.8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 4.2.8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 4.2.8.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.8.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.9

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| u |) + C_{2})) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.10

Sederhanakan.

$- (y - 3 \ln (| u |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 3$ .

$- (y - 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.12.1

Terapkan sifat distributif.

$- y - (- 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.12.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) = - 2 \ln (| x |) + C$