Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $π$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

Langkah 4.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

Langkah 4.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{π^{2}}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$