Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = x^{2} + 8$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = x^{2} + 8$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 2.3.2.1.4

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Gabungkan $u^{- \frac{1}{3}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $u^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 2.3.5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{3}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{3}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tulis kembali $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.3.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ .

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ .

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Langkah 4.2.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

Langkah 4.2.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

Langkah 4.2.7

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 + K = 0$

Langkah 4.3

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 12$

Langkah 5

Substitusikan $- 12$ untuk $K$ dalam $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 12$ untuk $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$