Kalkulus Contoh

$x (y + 1) d x = (y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y = x (y + 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} (y^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{y + 1}$ dengan $y^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $y + 1$ dari $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y + 1$ dari $x (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} x d x$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Bagilah $y^{2} + 1$ dengan $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$y$

Langkah 4.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y^{2} + y$

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$

Langkah 4.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

Langkah 4.2.1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

Langkah 4.2.1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

Langkah 4.2.1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					-	$y$	-	$1$

Langkah 4.2.1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- y - 1$

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$

Langkah 4.2.1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$
							+	$2$

Langkah 4.2.1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int y - 1 + \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.5

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.6

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.6.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.6.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.7

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{3}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.8

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.9

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 4.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 4.3.1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 4.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

Langkah 4.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{5}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$