Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = y^{2} - 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 1} (y^{2} - 1)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 1} (y^{2} - 1)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2} - 1} d y = 1 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2} - 1} d y = \int d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}}$

Langkah 2.2.1.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 2.2.1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

Langkah 2.2.1.1.3

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.7.1.2

Bagilah $(A) (y - 1)$ dengan $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.7.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.7.4

Tulis kembali $- 1 A$ sebagai $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.1.7.5.2

Bagilah $(B) (y + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

Langkah 2.2.1.1.7.6

Terapkan sifat distributif.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.7.7

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

Langkah 2.2.1.1.8

Pindahkan $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

Langkah 2.2.1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $y$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 2.2.1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $y$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = - 1 A + B$

Langkah 2.2.1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 2.2.1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Selesaikan $A$ dalam $0 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 2.2.1.3.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Langkah 2.2.1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = - 1 A + B$ dengan $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Langkah 2.2.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.2.2.1

Sederhanakan $- 1 (- B) + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.2.2.1.1

Kalikan $- 1 (- B)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Langkah 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Langkah 2.2.1.3.2.2.1.2

Tambahkan $B$ dan $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Langkah 2.2.1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $1 = 2 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Langkah 2.2.1.3.3.2

Bagi setiap suku pada $2 B = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $2 B = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 2.2.1.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Langkah 2.2.1.3.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = - B$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.1.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{y + 1}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

Langkah 2.2.1.5.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Langkah 2.2.5

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Langkah 2.2.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int d t$

Langkah 2.2.8

Biarkan $u_{2} = y - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Biarkan $u_{2} = y - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1.1

Diferensialkan $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Langkah 2.2.8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.8.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.8.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Langkah 2.2.9

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Langkah 2.2.10

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Langkah 2.2.11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.11.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Langkah 2.2.11.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = t + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = t + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Gabungkan $\ln (| y + 1 |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = t + C$

Langkah 3.1.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$ dengan $2$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$ dengan $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot t + C \cdot 2$

Langkah 3.2.3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 t + 2 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| y - 1 |) = 2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)} = | y - 1 |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (| y - 1 |)$

Langkah 3.5.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Perluas $\ln (e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)})$ dengan memindahkan $2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ ke luar logaritma.

$(2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (| y - 1 |)$

Langkah 3.5.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (| y - 1 |)$

Langkah 3.5.2.3

Kalikan $2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ dengan $1$ .

$2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (| y - 1 |)$

Langkah 3.5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| y - 1 |) = - 2 t - 2 C$

Langkah 3.5.4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 t - 2 C$

Langkah 3.5.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 t - 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 t - 2 C} = \frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}$

Langkah 3.5.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 t - 2 C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.2

Kalikan kedua ruas dengan $| y - 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Langkah 3.5.7.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| y - 1 |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Langkah 3.5.7.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y + 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Langkah 3.5.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ .

$e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$

Langkah 3.5.7.4.2

Bagi setiap suku pada $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ dengan $e^{- 2 t - 2 C}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ dengan $e^{- 2 t - 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}} = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Langkah 3.5.7.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}} = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Langkah 3.5.7.4.2.2.1.2

Bagilah $| y - 1 |$ dengan $1$ .

$| y - 1 | = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Langkah 3.5.7.4.3

Tulis kembali persamaan nilai mutlak sebagai empat persamaan tanpa bar nilai mutlak.

$y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Langkah 3.5.7.4.4

Setelah disederhanakan, hanya ada dua persamaan unik yang harus diselesaikan.

$y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Langkah 3.5.7.4.5

Selesaikan $y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.1

Kalikan kedua ruas dengan $e^{- 2 t - 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.2.1.1

Sederhanakan $(y - 1) e^{- 2 t - 2 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y e^{- 2 t - 2 C} - 1 e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.5.2.1.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.2.1.1.2.1

Tulis kembali $- 1 e^{- 2 t - 2 C}$ sebagai $- e^{- 2 t - 2 C}$ .

$y e^{- 2 t - 2 C} - e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.5.2.1.1.2.2

Susun kembali $- 2 t$ dan $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.5.2.1.1.2.3

Susun kembali $- 2 t$ dan $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = y + 1$

Langkah 3.5.7.4.5.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.3.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} - y = 1$

Langkah 3.5.7.4.5.3.2

Tambahkan $e^{- 2 C - 2 t}$ ke kedua sisi persamaan.

$y e^{- 2 C - 2 t} - y = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.3

Faktorkan $y$ dari $y e^{- 2 C - 2 t} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y e^{- 2 C - 2 t}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - y = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot - 1 = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{- 2 C - 2 t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.4

Tulis kembali $e^{- 2 C - 2 t}$ sebagai ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y ({(e^{- C - t})}^{2} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y ({(e^{- C - t})}^{2} - 1^{2}) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.3.6.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = e^{- C - t}$ dan $b = 1$ .

$y ((e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.7

Bagi setiap suku pada $y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ dengan $(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.1

Bagilah setiap suku di $y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ dengan $(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)$ .

$\frac{y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- C - t} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y (e^{- C - t} - 1)}{e^{- C - t} - 1} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- C - t} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (e^{- C - t} - 1)}{e^{- C - t} - 1} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.5.3.7.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{1 + e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Langkah 3.5.7.4.6

Selesaikan $y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.1

Kalikan kedua ruas dengan $e^{- 2 t - 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.2.1.1

Sederhanakan $(y - 1) e^{- 2 t - 2 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y e^{- 2 t - 2 C} - 1 e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.6.2.1.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.2.1.1.2.1

Tulis kembali $- 1 e^{- 2 t - 2 C}$ sebagai $- e^{- 2 t - 2 C}$ .

$y e^{- 2 t - 2 C} - e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.6.2.1.1.2.2

Susun kembali $- 2 t$ dan $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.6.2.1.1.2.3

Susun kembali $- 2 t$ dan $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.2.2.1

Sederhanakan $- \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.2.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ ke dalam pembilangnya.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{- (y + 1)}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.6.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{- (y + 1)}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Langkah 3.5.7.4.6.2.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - (y + 1)$

Langkah 3.5.7.4.6.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - y - 1 \cdot 1$

Langkah 3.5.7.4.6.2.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - y - 1$

Langkah 3.5.7.4.6.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.3.1

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1$

Langkah 3.5.7.4.6.3.2

Tambahkan $e^{- 2 C - 2 t}$ ke kedua sisi persamaan.

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.3

Faktorkan $y$ dari $y e^{- 2 C - 2 t} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y e^{- 2 C - 2 t}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.3.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot 1 = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.3.4

Faktorkan $y$ dari $y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot 1$ .

$y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.4

Bagi setiap suku pada $y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ dengan $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ dengan $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ .

$\frac{y (e^{- 2 C - 2 t} + 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (e^{- 2 C - 2 t} + 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 1 + e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.3.2.1

Tulis kembali $e^{- 2 C - 2 t}$ sebagai ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y = \frac{- 1 + {(e^{- C - t})}^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.3.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1^{2} + {(e^{- C - t})}^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.3.2.3

Susun kembali $- 1^{2}$ dan ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y = \frac{{(e^{- C - t})}^{2} - 1^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Langkah 3.5.7.4.6.3.4.3.2.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = e^{- C - t}$ dan $b = 1$ .

$y = \frac{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Langkah 3.5.7.4.7