Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 d t}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 t + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 t}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

Langkah 2.3

Kalikan $e^{2 t}$ dengan $1$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 6.1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 6.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Langkah 6.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Langkah 6.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ dengan $e^{2 t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ dengan $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $\frac{2}{5}$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Langkah 9

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

Langkah 9.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

Langkah 9.2.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Langkah 9.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

Langkah 9.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kurangkan $\frac{1}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

Langkah 9.3.2

Untuk menuliskan $\frac{2}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 9.3.3

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 9.3.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $10$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 9.3.4.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 9.3.4.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

Langkah 9.3.4.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

Langkah 9.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

Langkah 9.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$C = \frac{4 - 5}{10}$

Langkah 9.3.6.2

Kurangi $5$ dengan $4$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

Langkah 9.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C = - \frac{1}{10}$

Langkah 10

Substitusikan $- \frac{1}{10}$ untuk $C$ dalam $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Substitusikan $- \frac{1}{10}$ untuk $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Langkah 10.2.2

Kalikan $\frac{1}{e^{2 t}}$ dengan $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

Langkah 10.2.3

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $e^{2 t}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$