Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $\frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x)}$

Langkah 1.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})}$

Langkah 1.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{2}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

Langkah 2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{5} x^{3}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $\frac{2}{5}$ untuk $y$ padda $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

Langkah 9

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Langkah 9.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Langkah 9.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Langkah 9.2.3

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

Langkah 9.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kurangkan $\frac{1}{5}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

Langkah 9.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

Langkah 9.3.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

Langkah 10

Substitusikan $\frac{1}{5}$ untuk $C$ dalam $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Substitusikan $\frac{1}{5}$ untuk $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 10.2.2

Gabungkan.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

Langkah 10.2.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$