Kalkulus Contoh

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 y + t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y + t$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

Langkah 3.3

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

Langkah 3.4

Karena $t$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $t$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Langkah 3.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 0$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = 0$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

Langkah 5.3.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Langkah 6.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan $- \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Langkah 6.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y d t + (2 y + t) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $2 y + t$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $2 y + t$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Langkah 12.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Langkah 12.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Langkah 13

Temukan $\frac{2 y + t}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Langkah 13.3

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

Langkah 13.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Langkah 13.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Langkah 13.5.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

Langkah 13.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

Langkah 13.7

Karena $t$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $t$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.8

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

Langkah 13.9

Sederhanakan.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$