Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 y - 2 y + 5}$ .

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y - 2 y + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 5}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \frac{1}{2 x + 5} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $2 y$ dengan $3 y$ .

$\int \frac{1}{y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u_{1} = y + 5$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u_{1} = y + 5$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Langkah 2.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 5$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 2.2.2.1.4

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Langkah 2.2.4

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 2 x + 5$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 2 x + 5$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 2 x + 5 |)$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} + C$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 5 |) - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $\ln (| y + 5 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Langkah 3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gabungkan $\ln (| y + 5 |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Langkah 3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2 - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Langkah 3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| y + 5 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Langkah 3.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan $\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y + 5 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| y + 5 |}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Langkah 3.6.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y + 5 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{\ln ({(y + 5)}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Langkah 3.6.1.1.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2} = C$

Langkah 3.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}) = C$

Langkah 3.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({(\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.6.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}$ .

$\ln (\frac{{({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{1}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.2

Sederhanakan.

$\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Langkah 3.8

Tulis kembali $\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Langkah 3.9.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + 5 = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9.4

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = C {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$