Kalkulus Contoh

$\frac{d v}{d t} = \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d v = (\frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d v = \int \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$v + C_{1} = \int \frac{6}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$v + C_{1} = \int \frac{6}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.2

Karena $6$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$v + C_{1} = 6 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 6 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ terhadap $t$ adalah $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 6 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.5

Karena turunan dari $\tan (t)$ adalah $\sec^{2} (t)$ , maka integral dari $\sec^{2} (t)$ adalah $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 6 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$v + C_{1} = 6 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $3$ untuk $v$ padda $v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$ .

$3 = 6 \arctan (0) + \tan (0) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $6 \arctan (0) + \tan (0) + K = 3$ .

$6 \arctan (0) + \tan (0) + K = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $6 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$6 \cdot 0 + \tan (0) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.2

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$0 + 0 + K = 3$

Langkah 4.2.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $0 + 0 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + K = 3$

Langkah 4.2.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K = 3$

Langkah 5

Substitusikan $3$ untuk $K$ dalam $v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $3$ untuk $K$ .

$v = 6 \arctan (t) + \tan (t) + 3$