Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = 3$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = 3$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = 3$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{5}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{5}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{5 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{5})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{5}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \cdot 3$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{5}{x}$ dan $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \cdot 3$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \cdot 3$

Langkah 3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 3 x^{5}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = 3 x^{5}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int 3 x^{5} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{5} y = \int 3 x^{5} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$x^{5} y = 3 \int x^{5} d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{6}$ .

$x^{5} y = \frac{3}{6} x^{6} + C$

Langkah 7.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$x^{5} y = \frac{3 (1)}{6} x^{6} + C$

Langkah 7.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Langkah 7.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Langkah 7.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ dengan $x^{5}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ dengan $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{6}$ dan $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $x^{5}$ dari $\frac{1}{2} x^{6}$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{2} x$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{5}}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{5}}$