Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2} + x y}{x^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pisahkan $\frac{3 y^{2} + x y}{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{3 y^{2} + x y}{x^{2}}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Langkah 1.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.3

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{3 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.3.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V \cdot V + V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V \cdot V + V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kalikan $V$ dengan $V$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Pindahkan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot (V \cdot V) + V$

Langkah 6.1.1.1.2

Kalikan $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{2} + V$

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 V^{2} + V$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2} + V - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 V^{2} + V - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2} + 0$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Tambahkan $3 V^{2}$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2}$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = 3 V^{2}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3 V^{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3 V^{2}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 V^{2}}{x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{3 V^{2}}{x}$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Gabungkan.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (3 V^{2})}{V^{2} x}$

Langkah 6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (3 V^{2})}{V^{2} x}$

Langkah 6.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{x}$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{3}{x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{3}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Pindahkan $V^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $V^{- 2}$ terhadap $V$ adalah $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Tulis kembali $- V^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{V} = 3 \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan $3 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$- \frac{1}{V} = \ln ({| x |}^{3}) + C$

Langkah 6.3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$V, 1, 1$

Langkah 6.3.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$V$

Langkah 6.3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{V} = \ln ({| x |}^{3}) + C$ dengan $V$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{V} = \ln ({| x |}^{3}) + C$ dengan $V$ .

$- \frac{1}{V} V = \ln ({| x |}^{3}) V + C V$

Langkah 6.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{V}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{V} V = \ln ({| x |}^{3}) V + C V$

Langkah 6.3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{V} V = \ln ({| x |}^{3}) V + C V$

Langkah 6.3.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \ln ({| x |}^{3}) V + C V$

Langkah 6.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln ({| x |}^{3}) V + C V$ .

$- 1 = V \ln ({| x |}^{3}) + C V$

Langkah 6.3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $V \ln ({| x |}^{3}) + C V = - 1$ .

$V \ln ({| x |}^{3}) + C V = - 1$

Langkah 6.3.4.2

Faktorkan $V$ dari $V \ln ({| x |}^{3}) + C V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.2.1

Faktorkan $V$ dari $C V$ .

$V \ln ({| x |}^{3}) + V C = - 1$

Langkah 6.3.4.2.2

Faktorkan $V$ dari $V \ln ({| x |}^{3}) + V C$ .

$V (\ln ({| x |}^{3}) + C) = - 1$

Langkah 6.3.4.3

Bagi setiap suku pada $V (\ln ({| x |}^{3}) + C) = - 1$ dengan $\ln ({| x |}^{3}) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $V (\ln ({| x |}^{3}) + C) = - 1$ dengan $\ln ({| x |}^{3}) + C$ .

$\frac{V (\ln ({| x |}^{3}) + C)}{\ln ({| x |}^{3}) + C} = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

Langkah 6.3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln ({| x |}^{3}) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V (\ln ({| x |}^{3}) + C)}{\ln ({| x |}^{3}) + C} = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

Langkah 6.3.4.3.2.1.2

Bagilah $V$ dengan $1$ .

$V = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

Langkah 6.3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$ .

$y = - \frac{x}{\ln ({| x |}^{3}) + C}$