Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x y + y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $x y + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y}$

Langkah 1.1.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y^{1}}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y \cdot 1}$

Langkah 1.1.4

Faktorkan $y$ dari $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $\frac{y^{2} + 1}{y}$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Langkah 1.4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 1}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = y^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 y + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) = 2 C$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan $\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x + 1 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 C$

Langkah 3.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x + 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 C$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}})} = e^{2 C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$

Langkah 3.7.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Langkah 3.7.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Langkah 3.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1

Sederhanakan $e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.1

Tulis kembali ${(x + 1)}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 1)$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} ((x + 1) (x + 1))$

Langkah 3.7.4.1.2

Perluas $(x + 1) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Langkah 3.7.4.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Langkah 3.7.4.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Langkah 3.7.4.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Langkah 3.7.4.1.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Langkah 3.7.4.1.3.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Langkah 3.7.4.1.3.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1)$

Langkah 3.7.4.1.3.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 1)$

Langkah 3.7.4.1.4

Terapkan sifat distributif.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (2 x) + e^{2 C} \cdot 1$

Langkah 3.7.4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.5.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 1$

Langkah 3.7.4.1.5.2

Kalikan $e^{2 C}$ dengan $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$

Langkah 3.7.4.1.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}$

Langkah 3.7.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C})$

Langkah 3.7.4.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Langkah 3.7.4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} C + 2 x C + C) - 1}$