Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $e^{- y}$ dari $\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Kalikan $- y \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Langkah 3.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Perluas $\ln (e^{y})$ dengan memindahkan $y$ ke luar logaritma.

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Langkah 3.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Langkah 3.3

Perluas $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke luar logaritma.

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$