Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x + y}$

Langkah 1.1.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\frac{y}{x + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Kalikan $\frac{y}{x + y}$ dengan $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}} \frac{y}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan $\frac{y}{x + y}$ dengan $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.8

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.9.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 1.9.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V} V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V} V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kalikan $\frac{V}{1 + V} V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Gabungkan $\frac{V}{1 + V}$ dan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{1 + V}$

Langkah 6.1.1.1.2

Naikkan $V$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V}{1 + V}$

Langkah 6.1.1.1.3

Naikkan $V$ menjadi pangkat $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V^{1}}{1 + V}$

Langkah 6.1.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1 + 1}}{1 + V}$

Langkah 6.1.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{1 + V}$

Langkah 6.1.1.2

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Untuk menuliskan $- V$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.3.1

Gabungkan $- V$ dan $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.4.1

Faktorkan $V$ dari $V^{2} - V (1 + V)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.4.1.1

Faktorkan $V$ dari $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.1.2

Faktorkan $V$ dari $- V (1 + V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.1.3

Faktorkan $V$ dari $V \cdot V + V (- (1 + V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.4

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - 1)}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.4.5

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.5.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 \cdot V}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{1 + V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.7

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{x (1 + V)}$

Langkah 6.1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1 + V}{V}$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V} (- \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} (\frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2

Kalikan $\frac{V}{1 + V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Langkah 6.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1 + V}{V}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Langkah 6.1.4.3.2

Faktorkan $1 + V$ dari $- (1 + V)$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Langkah 6.1.4.3.3

Faktorkan $1 + V$ dari $(1 + V) x$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) (x)}$

Langkah 6.1.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Langkah 6.1.4.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

Langkah 6.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

Langkah 6.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1 + V}{V} d V = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1 + V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int \frac{1}{V} + \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{V} d V + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Integral dari $\frac{1}{V}$ terhadap $V$ adalah $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.5

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| V |) + C_{1} + V + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6

Sederhanakan.

$\ln (| V |) + V + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.7

Susun kembali suku-suku.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$V + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Langkah 8.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{y}{x} + C$

Langkah 8.3

Kalikan $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{y}{x} + C$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{y}{x}$ dan $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

Langkah 8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

Langkah 8.4.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{y}{x} + C$