Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{e^{x} - y}{x}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $\frac{- y}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- \frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- \frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (x)}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2.4.2

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.2.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int e^{x} d x$

Langkah 7

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$x y = e^{x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x y = e^{x} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x y = e^{x} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$