Kalkulus Contoh

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ .

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $13.6 - \frac{1}{2} v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

Langkah 1.3

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Gabungkan $v$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

Langkah 2.2.1.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

Langkah 2.2.2

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $\frac{3}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

Langkah 2.2.3

Biarkan $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Kemudian $d u = - \frac{1}{2} d v$ sehingga $- 2 d u = d v$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Biarkan $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Diferensialkan $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

Langkah 2.2.3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $13.6 - \frac{v}{2}$ terhadap $v$ adalah $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Langkah 2.2.3.1.2.2

Karena $13.6$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $13.6$ terhadap $v$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Langkah 2.2.3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.3.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $- \frac{v}{2}$ terhadap $v$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

Langkah 2.2.3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ adalah $n v^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 2.2.3.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.3.1.4

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Langkah 2.2.4.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

Langkah 2.2.4.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

Langkah 2.2.4.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

Langkah 2.2.4.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.4.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

Langkah 2.2.6

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Langkah 2.2.7.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.7.3

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.7.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.7.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.7.4.2.4

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Langkah 2.2.9

Sederhanakan.

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.11

Susun kembali suku-suku.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

Langkah 3

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Langkah 3.1.2.2

Gabungkan $v$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

Langkah 3.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

Langkah 3.4

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ .

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $13.6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

Langkah 3.4.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{v}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{v}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Langkah 3.4.5.1.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Langkah 3.4.5.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Langkah 3.4.5.1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Langkah 3.4.5.1.1.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Langkah 3.4.5.1.1.2.2

Kalikan $v$ dengan $1$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Langkah 3.4.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1

Sederhanakan $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

Langkah 3.4.5.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 13.6$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

Langkah 3.4.6

Susun kembali $- \frac{t}{3}$ dan $- \frac{C}{3}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Langkah 4.2

Susun kembali suku-suku.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

Langkah 4.3

Tulis kembali $e^{- \frac{t}{3} + C}$ sebagai $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

Langkah 4.4

Susun kembali $e^{- \frac{t}{3}}$ dan $e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

Langkah 4.5

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$