Kalkulus Contoh

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(2 x + Y) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 Y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Langkah 3.4

Kalikan $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Langkah 3.4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Langkah 3.4.3

Gabungkan $\frac{- 2}{2 Y + x}$ dan $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $Y$ dan $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

Langkah 3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

Langkah 3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

Langkah 3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- Y$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

Langkah 3.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (Y)$ .

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Langkah 3.10

Tulis kembali $- (2 x + Y)$ sebagai $- 1 (2 x + Y)$ .

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Langkah 3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Langkah 4.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u = 2 Y + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u = 2 Y + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 Y + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.2.1.3

Karena $2 Y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 Y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 4.3.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

Langkah 4.3.3

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

Langkah 4.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.5

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.6

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.9

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.12

Karena $2 Y$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2 Y$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.13

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.14

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Langkah 4.3.15

Karena $Y$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $Y$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.16

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

Langkah 4.3.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.17.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.17.2

Tambahkan $- 4 Y \ln (| u |)$ dan $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.18

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.19.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.19.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.19.2

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.19.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.19.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.19.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Langkah 4.3.19.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

Langkah 4.3.20

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$