Kalkulus Contoh

$(3 y x^{2}) d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 y x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$

Langkah 1.2

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y x^{2}$ terhadap $y$ adalah $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - x^{3} - 2 y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3} - 2 y^{4}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{3} - 2 y^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2 y^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y^{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $- 3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 x^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 3 x^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 3 x^{2}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $3 x^{2}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $3 y x^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $3 y x^{2}$ untuk $M$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{3 y x^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 - 1 \cdot 3 x^{2}}{3 y x^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 3)}{3 y x^{2}}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $3$ dengan $- 3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 6}{3 y}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Langkah 4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 y$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (y)}$

Langkah 4.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Langkah 4.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{y}$

Langkah 4.3.5

Substitusikan $3 y x^{2}$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $3 y x^{2} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $3 y x^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 y x^{2} \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $3 y x^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x^{2} \frac{1}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{y}$ .

$x^{2} \frac{3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.4

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $- x^{3} - 2 y^{4}$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $- x^{3} - 2 y^{4}$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- x^{3} - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.8

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.9

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y^{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - (2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3}) - (2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.11

Tulis kembali $- (x^{3} + 2 y^{4})$ sebagai $- 1 (x^{3} + 2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- 1 (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $\frac{3}{y}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{3}{y}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \int x^{2} d x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $\frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kalikan $\frac{3}{y}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y \cdot 3} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 \cdot y} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $3$ dengan $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{3} + C$

Langkah 8.3.2.5

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y} + g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{y} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{y}$ terhadap $y$ adalah $x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11.5.2

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Tambahkan $\frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} + x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Tambahkan $- x^{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Tambahkan $0$ dan $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $y^{4}$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{1} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.4

Bagilah $2 y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} = 0$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $2 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$

Langkah 13

Temukan $- 2 y^{2}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y$

Langkah 13.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{3} y^{3} + C$

Langkah 13.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + C$

Langkah 15.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2 y^{3}}{3} + C$