Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

Langkah 2.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7.1.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $24$ untuk $y$ padda $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ .

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ .

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Langkah 4.2

Sederhanakan $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Langkah 4.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$1 - 1 + 12 + K = 24$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0 + 12 + K = 24$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $12$ .

$12 + K = 24$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 24 - 12$

Langkah 4.3.2

Kurangi $12$ dengan $24$ .

$K = 12$

Langkah 5

Substitusikan $12$ untuk $K$ dalam $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $12$ untuk $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$