Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Langkah 1.2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

Langkah 2.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $5$ untuk $y$ padda $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ .

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ .

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Langkah 4.2

Sederhanakan $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Langkah 4.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$2 - 1 + 4 + K = 5$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$1 + 4 + K = 5$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$5 + K = 5$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 5 - 5$

Langkah 4.3.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$K = 0$

Langkah 5

Substitusikan $0$ untuk $K$ dalam $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $0$ untuk $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ dan $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$