Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{1}{x + 7} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x + 7}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = x + 7$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = x + 7$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.3.2.1.4

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 7$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x + 7 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

Langkah 3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x + 7 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

Langkah 3.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 7)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Sederhanakan $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1

Tulis kembali ${(x + 7)}^{2}$ sebagai $(x + 7) (x + 7)$ .

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

Langkah 3.5.4.1.2

Perluas $(x + 7) (x + 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

Langkah 3.5.4.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

Langkah 3.5.4.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Langkah 3.5.4.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Langkah 3.5.4.1.3.1.2

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

Langkah 3.5.4.1.3.1.3

Kalikan $7$ dengan $7$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

Langkah 3.5.4.1.3.2

Tambahkan $7 x$ dan $7 x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

Langkah 3.5.4.1.4

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

Langkah 3.5.4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.5.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

Langkah 3.5.4.1.5.2

Pindahkan $49$ ke sebelah kiri $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

Langkah 3.5.4.1.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$