Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x} y = e^{- 2 x}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $\frac{2 x + 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 x + \ln (x)}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 x + \ln (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} (\frac{2 x + 1}{x} y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{2 x + 1}{x}$ dan $y$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $e^{2 x + \ln (x)}$ dan $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $e^{2 x + \ln (x)}$ dari $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Faktorkan $e^{2 x + \ln (x)}$ dari $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.5.1.2

Faktorkan $e^{2 x + \ln (x)}$ dari $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.5.1.3

Faktorkan $e^{2 x + \ln (x)}$ dari $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.5.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Langkah 2.6

Kalikan $e^{2 x + \ln (x)}$ dengan $e^{- 2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

Langkah 2.6.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x + \ln (x) - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Kurangi $2 x$ dengan $2 x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

Langkah 2.6.2.2

Tambahkan $0$ dan $\ln (x)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

Langkah 2.7

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

Langkah 2.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $e^{2 x + \ln (x)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x + \ln (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Langkah 7.3.1.3

Gabungkan.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Langkah 7.3.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$