Kalkulus Contoh

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ dengan $x^{2} + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} y$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 1} y)$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{x}{x^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $\ln (| y |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gabungkan $\ln (| y |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 3.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 3.6.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 3.6.1.1.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

Langkah 3.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

Langkah 3.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.6.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.2

Sederhanakan.

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Langkah 3.8

Tulis kembali $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Langkah 3.9.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 = C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ .

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ dengan ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ dengan ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$C = \frac{1}{{| 0 + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.3.1.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$C = \frac{1}{{| 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.3.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$C = \frac{1}{1^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.3.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$C = \frac{1}{1}$

Langkah 6.2.3.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$C = 1$

Langkah 7

Substitusikan $1$ untuk $C$ dalam $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $1$ untuk $C$ .

$y = 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.2

Kalikan ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$