Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{3 y^{2}}{\sqrt{x}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y^{2})}{y^{2} \sqrt{x}}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y^{2})}{y^{2} \sqrt{x}}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{\sqrt{x}}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{\sqrt{x}}$

Langkah 1.2.4

Kalikan $\frac{3}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 1.2.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan $\frac{3}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Langkah 1.2.5.2

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Langkah 1.2.5.3

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Langkah 1.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 1.2.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.2.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.2.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x^{1}}$

Langkah 1.2.5.6.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 2.3.2.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = 6 x^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = 6 x^{\frac{1}{2}} + K$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = 6 x^{\frac{1}{2}} + K$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = 6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = 6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = 6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = 6 y x^{\frac{1}{2}} + K y$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $6 y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$6 y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $6 y x^{\frac{1}{2}} + K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $6 y x^{\frac{1}{2}}$ .

$y (6 x^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $K y$ .

$y (6 x^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (6 x^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y (6 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Langkah 3.3.3

Bagi setiap suku pada $y (6 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ dengan $6 x^{\frac{1}{2}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y (6 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ dengan $6 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y (6 x^{\frac{1}{2}} + K)}{6 x^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{6 x^{\frac{1}{2}} + K}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{6 x^{\frac{1}{2}} + K}$

Langkah 3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}} + K}$