Kalkulus Contoh

$x^{2} (y d) y - (x + 1) (y + 1) d x = 0$

Langkah 1

Tambahkan $(x + 1) (y + 1) d x$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} y d y = (x + 1) (y + 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y)) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{y + 1}$ dan $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $y + 1$ dari $x^{2} (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y + 1$ dari $(x + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Bagilah $y$ dengan $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Langkah 4.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Langkah 4.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 4.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.5

Biarkan $u = y + 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Biarkan $u = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.7

Sederhanakan.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.2

Kalikan $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.3.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.3.1.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.3.2

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.5

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Langkah 4.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$