Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 25 e^{x} - x^{2}$ , $y (0) = 19$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (25 e^{x} - x^{2}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $25$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 25 \int e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

Langkah 2.3.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 25 e^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $19$ untuk $y$ padda $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ .

$19 = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$

Langkah 4.2

Sederhanakan $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + 25 e^{0} + K = 19$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + 25 e^{0} + K = 19$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$0 + 25 e^{0} + K = 19$

Langkah 4.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 25 \cdot 1 + K = 19$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $25$ dengan $1$ .

$0 + 25 + K = 19$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $25$ .

$25 + K = 19$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $25$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 19 - 25$

Langkah 4.3.2

Kurangi $25$ dengan $19$ .

$K = - 6$

Langkah 5

Substitusikan $- 6$ untuk $K$ dalam $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 6$ untuk $K$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} - 6$

Langkah 5.2

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{3} + 25 e^{x} - 6$