Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t y}{t^{2} + 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1} y$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (\frac{8 t}{t^{2} + 1} y)$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{8 t}{t^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = t^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 t d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = t^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 2.3.2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 t + 0$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$2 t$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |) = C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Sederhanakan $- 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) - \ln ({| t^{2} + 1 |}^{4}) = C$

Langkah 3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| t^{2} + 1 |}^{4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y |) - \ln ({(t^{2} + 1)}^{4}) = C$

Langkah 3.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Sederhanakan $e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$| y | = e^{C} ({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{2 \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.4

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{2 \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1 + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.6

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.8

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{4})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

Langkah 3.5.4.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} t^{8} + e^{C} (4 t^{6}) + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Langkah 3.5.4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Langkah 3.5.4.1.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Langkah 3.5.4.1.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C} \cdot 1$

Langkah 3.5.4.1.3.4

Kalikan $e^{C}$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$

Langkah 3.5.4.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$ .

$| y | = t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C})$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm (t^{8} C + 4 t^{6} C + 6 t^{4} C + 4 t^{2} C + C)$