Kalkulus Contoh

$(x y^{2} + x) d x + y x^{2} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} + x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $2 x y$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x^{2}]$

Langkah 2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y x^{2}$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Langkah 2.4

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y = 2 x y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x y = 2 x y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y x^{2} d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = y x^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Langkah 5.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.3.6

Gabungkan $\frac{2 y^{2}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.3.7.2

Bagilah $y^{2} x$ dengan $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x y^{2} + x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - y^{2} x$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x y^{2} + x - y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x y^{2}$ dan $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + x - y^{2} x$

Langkah 9.1.2.2

Kurangi $y^{2} x$ dengan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 9.1.2.3

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 10

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$