Kalkulus Contoh

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x - 2 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y - 1]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2 y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

Langkah 1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (x - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x - 3)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x - 3)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.5

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Langkah 2.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 = - 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- 1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 + 1}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $- (x - 3)$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- (x - 3)$ untuk $N$ .

$\frac{- 2 + 1}{- (x - 3)}$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$\frac{- 1}{- (x - 3)}$

Langkah 4.3.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{1}{x - 3}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = x - 3$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Biarkan $u = x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Diferensialkan $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 5.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 5.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 5.1.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Langkah 5.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | u | + C$

Langkah 5.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$μ (x, y) = | x - 3 | + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$ dengan faktor integral $x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x - 2 y - 1$ dengan $x - 3$ .

$(x - 2 y - 1) (x - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.2

Perluas $(x - 2 y - 1) (x - 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x$ .

$(x^{2} - 3 \cdot x - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.3.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.4

Kurangi $x$ dengan $- 3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $- (x - 3)$ dengan $x - 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.6

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x - - 3) (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x + 3) (x - 3) d y = 0$

Langkah 6.8

Perluas $(- x + 3) (x - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x (x - 3) + 3 (x - 3)) d y = 0$

Langkah 6.8.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) d y = 0$

Langkah 6.8.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Langkah 6.9

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Langkah 6.9.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Langkah 6.9.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Langkah 6.9.1.3

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x - 9) d y = 0$

Langkah 6.9.2

Tambahkan $3 x$ dan $3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 6 x - 9) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} + 6 x - 9 d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = - x^{2} + 6 x - 9$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(- x^{2} + 6 x - 9) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9]$ .

$y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{2} + 6 x - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.5

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.7

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y (- 2 x + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.9

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$y (- 2 x + 6 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.3.10

Tambahkan $- 2 x + 6$ dan $0$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y (- 2 x) + y \cdot 6 + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.5.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $y$ .

$y (- 2 x) + 6 y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Tambahkan $2 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $6 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Langkah 12.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- 2 y x$ dan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 x y + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Langkah 12.1.3.2

Tambahkan $- 2 x y$ dan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 + 0 - 6 y$

Langkah 12.1.3.3

Tambahkan $x^{2} - 4 x + 6 y + 3$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 - 6 y$

Langkah 12.1.3.4

Kurangi $6 y$ dengan $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 0 + 3$

Langkah 12.1.3.5

Tambahkan $x^{2} - 4 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$

Langkah 13

Temukan $x^{2} - 4 x + 3$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Langkah 13.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Langkah 13.5

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Langkah 13.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Langkah 13.7

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Langkah 13.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Langkah 13.9

Sederhanakan.

$g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Langkah 13.10

Susun kembali suku-suku.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$