Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

Langkah 2.3.2

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

Langkah 2.3.4

Karena $6$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.4.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $t$ dan $2$ untuk $y$ padda $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ .

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Langkah 4.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$2 + 4 + K = 2$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$6 + K = 2$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 2 - 6$

Langkah 4.3.2

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$K = - 4$

Langkah 5

Substitusikan $- 4$ untuk $K$ dalam $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 4$ untuk $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$