Kalkulus Contoh

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $e^{5 x} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{5 x}$ dan $g (x) = y$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 1.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Langkah 1.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

Langkah 1.7

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

Langkah 1.8

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

Langkah 1.9

Hilangkan tanda kurung.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

Langkah 1.10

Susun kembali $y$ dan $5$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 8 x$ . Kemudian $d u = 8 d x$ sehingga $\frac{1}{8} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Biarkan $u = 8 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Diferensialkan $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 5.1.1.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Langkah 5.1.1.4

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$8$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Langkah 5.2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{8}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Langkah 5.3

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Langkah 5.4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Langkah 5.5.2

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $\cos (u)$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

Langkah 5.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 x$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

Langkah 5.7

Susun kembali suku-suku.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ dengan $e^{5 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ dengan $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Gabungkan $\cos (8 x)$ dan $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Langkah 6.3.1.3

Kalikan $\frac{1}{e^{5 x}}$ dengan $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Langkah 6.3.1.4

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $e^{5 x}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$