Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Langkah 1.2.2

Gabungkan.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $\sqrt{y}$ dari $4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Langkah 1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Faktorkan $\cos^{2} (\sqrt{y})$ dari $4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Langkah 1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Langkah 1.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.1.2

Pisahkan pecahan.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.1.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ ke $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.1.4

Kalikan $\sqrt{y}$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.1.5

Gabungkan $\frac{1}{\sqrt{y}}$ dan $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.2.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.2.4

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.2.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.2.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.3

Biarkan $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ sehingga $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Biarkan $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Diferensialkan $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Langkah 2.2.3.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 2.2.3.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 2.2.3.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 2.2.3.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Langkah 2.2.3.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 2.2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 2.2.3.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.8.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.2.3.1.8.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.4

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.5

Karena turunan dari $\tan (u)$ adalah $\sec^{2} (u)$ , maka integral dari $\sec^{2} (u)$ adalah $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ dengan $2$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ dengan $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3

Kalikan $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.3.1

Kalikan $\frac{x}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.2

Substitusikan $u$ untuk $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.3

Susun kembali $\frac{x}{8}$ dan $\frac{K}{2}$ .

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

Langkah 3.4

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $u$ dari dalam tangen.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Langkah 3.5

Mensubstitusikan $y^{\frac{1}{2}}$ untuk $u$ dan selesaikan $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Langkah 3.5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Langkah 3.5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Langkah 3.5.2.1.2

Sederhanakan.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$