Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{3} - x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{3} - x$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.4.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} - 1$

Langkah 1.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x^{2} - 1$

Langkah 1.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2} - 1$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{2}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} + x^{2} \cdot - 1$

Langkah 3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - 1 \cdot x^{2}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - x^{2}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4} - x^{2}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} - x^{2} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} y = \int x^{4} - x^{2} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x^{2} y = \int x^{4} d x + \int - x^{2} d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - x^{2} d x$

Langkah 7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - \int x^{2} d x$

Langkah 7.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{5} x^{3}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- \frac{1}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.3.2.4

Bagilah $- \frac{1}{3} x$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{2}}$