Kalkulus Contoh

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $8 x y^{3} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $12$ dan $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x^{2} y^{2}$ dari $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $x y^{3}$ dari $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Sederhanakan $12 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $12$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{12}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.3

Sederhanakan $8 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $8$ ke dalam logaritma.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

Langkah 5.2.1.1.4

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{8}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $y^{12} x^{8} = e^{C}$ dengan $x^{8}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $y^{12} x^{8} = e^{C}$ dengan $x^{8}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $y^{12}$ dengan $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Tulis kembali $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ sebagai $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

Langkah 5.5.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1

Tulis kembali $x^{8}$ sebagai ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

Langkah 5.5.4.2.2

Tulis kembali $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ sebagai $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

Langkah 5.5.4.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Langkah 5.5.4.3

Kalikan $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.4.1

Kalikan $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.4.2

Naikkan $\sqrt[3]{x^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Langkah 5.5.4.4.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Langkah 5.5.4.4.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ sebagai $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.4.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2}}$ sebagai $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Langkah 5.5.4.4.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Langkah 5.5.4.4.5.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Langkah 5.5.4.4.5.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Langkah 5.5.4.4.5.5

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.4.5.5.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Langkah 5.5.4.4.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.4.5.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Langkah 5.5.4.4.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Langkah 5.5.4.4.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Langkah 5.5.4.4.5.5.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.5.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.3

Faktorkan $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.5

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.5.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan indeks persekutuan terkecil $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.5.5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.5.1.2

Tulis kembali $x^{\frac{1}{3}}$ sebagai $x^{\frac{4}{12}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.5.1.3

Tulis kembali $x^{\frac{4}{12}}$ sebagai $\sqrt[12]{x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.5.5.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.6

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.6.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.6.1.1

Faktorkan $x$ dari $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.4.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.6.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Langkah 5.5.4.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Langkah 5.5.4.6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

Langkah 5.5.4.6.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Langkah 5.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Langkah 5.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Langkah 5.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$