Kalkulus Contoh

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1 + x$ dari $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 + x) y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y$ dari $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Langkah 3.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{- 1}{1 + x}$ dan $x$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

Langkah 3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.2.3.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.2.5

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.2.7

Susun kembali suku-suku.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Langkah 4.3.2

Susun kembali $1$ dan $x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 4.3.3

Bagilah $x$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 4.3.3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 4.3.3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 4.3.3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 4.3.3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 4.3.3.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 4.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 4.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 4.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 4.3.7

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.7.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.3.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.3.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Langkah 4.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Langkah 4.3.11.2

Kalikan $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Langkah 4.3.11.2.2

Kalikan $\ln (| x + 1 |)$ dengan $1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$